Getallen bestaan?

[onherzien, onverantwoord: dit is eerder een denkoefening van mezelf]

Waar gaat dit over? Ontologie van een getal, probleem van identiteit, bestaande en niet-bestaande objecten - respectievelijk vissen en eenhoorns.



Wat is nu een getal? Geen makkelijk vraagstuk, en ik pretendeer ook niet het antwoord te hebben, evenals niet op de vraag 'bestaat een getal?'. Maar eerder staande aan de kant van hen die het bestaan van getallen in twijfel trekken dan zij die deze bevestigd willen zien, wil ik graag de richting aangeven waarin ik vermoed dat de oplossing gevonden kan worden.

Getallen zijn iets louter instrumenteels, aan de hand waarvan we de werkelijkheid redelijk goed kunnen begrijpen. Ze zijn net als taal: via taal kunnen wij een begrip (een talig begrip nog wel) van de werkelijkheid opbouwen. Als we over de wereld spreken, doen we dit in taal. Echter: de woorden zijn de wereld niet! Net zo: de getallen (of de wiskunde) zijn de wereld niet. Ze zijn louter een middel, een instrument om over die wereld te kunnen spreken. (Voor meer argumentatie betreffende dit punt, zie mijn 'Wiskunde en haar relatie/statuut tegenover de wereld'; 2008.)

Waarom dan toch getallen? Vrij vroeg moet het levensvormen opgevallen zijn dat het ene deel van de wereld niet hetzelfde is als een ander deel van diezelfde wereld (waar de levensvorm bovendien toe behoort). De steen, daar vlak voor mij, is niet hetzelfde als de lucht er direct omheen; het water waar ik in zwem is niet hetzelfde als de vis die passeert; een graat van die vis is niet hetzelfde als de spieren of schubben van die vis. Je begrijpt mijn punt. Delen van de wereld verschillen van elkaar.

Welnu, getallen zijn een van die zaken die we gebruiken om in staat te zijn een onderscheid te maken tussen dingen waarvan we opmerken dat ze niet hetzelfde zijn. Zo is die vis een iets, zo is die steen een iets. 'Iets' in deze zin zou het ontstaan van het (vroege) getal 1 kunnen zijn. Louter een onderscheiden van de ene entiteit van een andere.
Zo ver kan ik akkoord gaan. 1 bestaat, in de zin dat er zo goed als een oneindigheid aan verschillende entiteiten bestaan. (Allemaal hebben ze eigenschap '1'.) 0 bestaat ook: voor al die zaken die niet-zijn (als je zo iets 'bestaan' zou willen noemen).
Maar 2, 3 en 91 bestaan niet als dusdanig. Laat me dat proberen te verduidelijken.
Naast het feit dat we opmerkten dat er verschillende entiteiten in de wereld zijn, moet het ook zo zijn geweest dat we opmerkten dat er gelijkenissen zijn in diezelfde wereld. De ene vis lijkt op de andere (zelfde soort) vis, maar is niet dezelfde; de ene schub lijkt op de andere ernaast - of zelfs op de schub van eerder vernoemde buurvis - maar ze zijn niet dezelfde!
Het feit dat ze voldoende op elkaar lijken is de reden dat we een overkoepelend woord zijn gaan gebruiken, namelijk 'vis'. Wanneer iemand 'vis' zegt, weten we dat er sprake is van een ding dat er zus en zo uitziet. De informatie verkregen uit wat we weten over de zaken die we 'vis' noemen is voldoende relevant. Maar dat neemt niet weg dat wij het zijn die deze twee zwemmende wezentjes onder een noemer, zijnde 'vis', geplaatst hebben. Die vissen zijn geen vissen, ze worden alleen zo genoemd omdat ze voldoende op elkaar lijken.
Op die manier kan '2' ook niet bestaan. 2, 3, … zijn een soort benoemingen die ons voldoende relevante informatie verschaffen over een groep entiteiten (bijvoorbeeld vissen) die een zekere gelijkenis genieten. Aangezien zij feitelijk niet samenhoren - en dus elk '1' zijn - lijkt het mij bedenkelijk hen zomaar op te gaan tellen.

Ik leg mijn keel eigenlijk bloot als ik het volgende zeg, maar zoals eerder gezegd is het een omstreden onderwerp waarop er nog lang geen zekerheid is. Een tegenargument, tegen wat ik net uiteenzette, zou kunnen zijn: 'maar al die dingen - vissen, schubben, stenen, … - hebben wel iets gemeen, ze zijn allemaal entiteiten, ze bestaan allemaal, en dus kunnen we ze wel optellen en bestaat 2, 3, … wel'.
Ja… dat zou kunnen… maar is zeggen dat het allemaal entiteiten zijn niet hetzelfde als zeggen dat die groep zwemmende wezens vissen zijn omdat ze gelijkaardige kenmerken hebben? Ja, ze 'bestaan' allen (wat dat ook moge betekenen) en hebben dat gemeen. Maar is dat niet hetzelfde als zeggen dat ze allemaal vinnen hebben, dat ze dit gemeen hebben, en daarom vissen zijn?

Ik ben van mening dat 'bestaan' geen grond kan vormen voor getallen groter dan 1, maar mijn grond is niet veel vaster dan de tegengestelde mening.
Toch wil ik een stap in de richting van een verklaring doen, om aan te tonen dat we alles niet zomaar onder 'bestaan' kunnen categoriseren. Er zijn namelijk ook niet-bestaande zijnden. Wat zou dat nu weer kunnen zijn? Goede vraag. Eenhoorns. Bestaan die? Nee. Kan je die tellen? Ja. Is het mogelijk dat er (mentaal) meer dan één van dezelfde eenhoorn bestaat? Ja… hoewel. Een van de criteria waarop we het ene ding van het andere onderscheiden is het criterium van plaats: de ene vis zwemt langs de rechteroever, de andere bevindt zich wat verderop, in het midden. Hoe zit dat nu met die eenhoorns? Zij bevinden zich toch op een en dezelfde plaats - de fantasie - maar zijn zij dan niet dezelfde? For the sake of argument laat ik deze bedenking even varen en stel ik naïef dat exact dezelfde eenhoorn twee keer kan bestaan in onze fantasie, zodat er tóch twee zijn. Twee bestaat dus. Maar wacht eens even… zeiden we net niet dat eenhoorns niet bestaan? Als twee alleen bestaat in imaginaire dingen, dan is twee bijgevolg zelf imaginair. En zodoende mijn stelling: getallen zijn instrumenten van onze geest waarmee we de wereld kunnen begrijpen. (Als je kritiek nu zou zijn dat we via getallen de wereld niet begrijpen, maar louter die fantasiewereld met haar eenhoorns, dan zou ik daar iets tegenin kunnen brengen, maar ik ga er eigenlijk van uit dat je dat niet doet.)

Ik kan spreken over meer dan één entiteit, dat ontken ik niet, maar ik doe dat op basis van een classificering onder één concept: namelijk bestaan. Net als bij het hebben van schubben en vinnen is het als één groep zien van entiteiten omdat ze een gemeenschappelijk kenmerk hebben - opnieuw: 'bestaan' - iets dat louter in ons hoofd gebeurd. Deze soort wezens heeft schubben en vinnen (enz.) dus noemen we het vissen; deze groep … 'dingen' … bestaat, dus noemen we het entiteiten of zijnden. Het blijft een geval van een naamkaartje plakken op zaken die op elkaar lijken en dus in één klasse plaatsen. Die klassen blijven in ons hoofd, daarom ken ik 2, 3, … geen bestaan buiten in ons hoofd, in onze taal en in onze fantasie toe.

Natuurlijk, en dat is nog meer een heikel punt, kan je zeggen dat onze geest, ons verstand toch ook in de wereld bestaat en is. Ons hoofd is ten slotte ook gemaakt van bestaande witte en grijze massa. In dat geval zouden getallen groter dan 1 toch bestaan, als een soort neurale structuren of op zijn minst neurale effecten. Daar kan ik niets tegenin brengen…
Ook kan je opmerken dat ik op basis van een kenmerk - bestaan - het getal 1 'bestaansrecht' gegeven heb. Er is bij beschouwing geen enkele reden waarom ik de eigenschap 'bestaan' zou verkiezen boven een andere eigenschap. Ik had evengoed kunnen zeggen dat die vis 1 is omdat hij schubben heeft. Zodoende is ook het bestaan van '1' betwijfelbaar. Ik opper '1' ook als een eigenschap te zien, alleen is het niet duidelijk wat dat dan wil zeggen, want er bestaat niets dat niet eigenschap '1' heeft. Alles dat is - zelfs imaginair - heeft in deze redenering de eigenschap 1. Alles wat niet-is - imaginair even buiten beschouwing gelaten - heeft dan eigenschap 0. Dat zou de reden kunnen zijn waarom 'bestaan' gekoppeld is aan '1'.
Er zijn twee uitwegen, een gemakkelijke, en een iets complexere.
De gemakkelijke zou zijn te zeggen dat '1' niet meer dan een synoniem van 'bestaan' (en '0' van 'niet-bestaan') is. En in dat geval bestaan getallen louter als neurologische verschijnselen. In dit opzicht zouden er dan twee soorten '1' bestaan: de wiskundige die louter neuraal bestaat, en een '1' die gewoon een ander woord is voor 'bestaan'. (Hetzelfde kan over '0' gezegd worden.) Daarom zou er geen enkel getal bestaan (behalve als neuraal effect dan).
De iets complexere zou zeggen dat '1' nauw samenhangt met 'bestaan'. En dat telkens dat iets bestaat, het ook 1 is. Wat dan het verband tussen die twee zou zijn is nogal duister.


Het blijft hoe dan ook een vraagstuk

Overigens… denk niet dat ik het slecht vind dat getallen in onze taal bestaan: het zijn, net als abstracties zoals 'vissen', nuttige - zelfs noodzakelijke - dingen om met de wereld om te kunnen gaan.